Teoremi sui limiti

A Cura della Dr.ssa Genny Mazzo

 

I teoremi che seguono sono presentati utilizzando limiti finiti (l) di funzioni in un punto (xx0); osserviamo che essi valgono anche se invece di l abbiamo+∞ o -∞ e per x → +∞  e x → -∞ .
Tratteremo il Teorema di unicità del limite, il Teorema del confronto di limiti e il Teorema di permanenza del segno.

1. Teorema di unicità del limite

Se una funzione ƒ(x) ammette limite per xx0, allora tale limite è unico.

Cerchiamo di spiegare il significato del teorema. Trovare il limite (l) di una funzione in un punto significa che, man mano che xx0  i valori assunti dalla funzione tendono a stabilizzarsi verso quel valore di l (si avvicinano ad l senza mai toccare quel numero). Se questi valori si stabilizzano attorno a un certo valore l1 , essi non possono stabilizzarsi anche attorno a un altro valore l2; quindi non possiamo trovare 2 valori diversi come limiti della stessa funzione in uno stesso punto.

NOTA DEL PROFESSORE

Esplicitamente non ci sono esercizi precisi di applicazione di questo teorema; implicitamente, ogni volta che si calcola un limite si applica il principio del teorema, nel senso che, se si calcola il limite e si trova un certo valore si può essere sicuri che non ne esistono altri!

Dimostrazionedel teorema di unicità del limite


Dimostriamo la tesi per assurdo. Ricordiamo che per effettuare questo tipo di dimostrazione si procede nel seguente modo: si suppone falsa la tesi; se con questa supposizione si arriva a negare l'ipotesi iniziale, significa che è sbagliato supporre falsa la tesi, quindi la tesi del teorema è dimostrata.

 

Dimostrazione del teorema di unicità del limite

Dimostrazione

2. Teorema del confronto (Teorema dei due carabinieri)

Teorema del Confronto

NOTA DEL PROFESSORE
Nell'enunciato del teorema si dice per ogni punto del dominio, praticamente basta che le condizioni siano verificate in un intorno di x0.
Il teorema viene anche detto “dei due carabinieri” perché la funzione g viene “stretta/chiusa” dalle altre due funzioni f ed h; se queste si muovono in una direzione (in linguaggio matematico tendono a un certo valore l), anche la funzione g è costretta ad andare verso quel valore.

Esercizio sul Teorema del confronto

Dimostrazione del teorema del confronto

 

Dimostrazione teorema del confronto

3. Teorema di permanenza del segno

Teorema di permanenza del segno

Dimostrazione


Dimostriamo la prima parte del teorema.

 

Teorema di permanenza del segno


Ultima modifica dell'articolo: 17/06/2016