Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado

A Cura della Dr.ssa Genny Mazzo

Primo principio di equivalenza: principio di addizione

Se si addiziona o si sottrae a entrambi i membri di un'equazione di primo grado uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Esempio:
data l'equazione 4x - 2 = 6  che ha soluzione x = 2, se si addiziona a entrambi i membri il numero 4 si ottiene l'equazione 4x - 2 + 4 = 6 + 4 che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.

Consideriamo ora la stessa equazione 4x - 2 = 6  e, questa volta, addizioniamo a entrambi i membri l'espressione algebrica x – 1. In questo modo otteniamo: 4x - 2 + x - 1 = 6 + x -1, che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.

NOTA DEL PROFESSORE
Occorre precisare che se si aggiungono o tolgono ai membri di un'equazione espressioni algebriche contenenti l'incognita, queste devono sempre avere significato, qualunque sia il valore dell'incognita, perché altrimenti si potrebbe ottenere un'equazione non equivalente a quella di partenza.

Conseguenze del primo principio di equivalenza

 

1) Regola del trasporto

 

In ogni equazione un termine si può spostare da un membro all'altro, purché si cambi segno.
Tale regola è molto utile nel procedimento di risoluzione delle equazioni e permette di velocizzare l'applicazione del primo principio di equivalenza.

NOTA DEL PROFESSORE
Ripetiamo che lo scopo di un'equazione di primo grado è quello di trovare la sua soluzione, ossia di scrivere: x = numero; perciò si deve cercare di avere a primo membro la sola incognita e a secondo membro tutto quello che non è incognita (numeri o altre lettere). Per fare questo si applica più volte il principio del trasporto, spostando a primo membro tutte le incognite e a secondo membro il resto, ricordando di cambiare segno a ciò che si trasporta e di mantenerlo invariato a tutto quello che rimane fermo. Successivamente si procede sommando tra loro i termini simili come imparato nel calcolo algebrico.

Esempio:

Consideriamo l'equazione di  primo grado 3x + 1 = 2x + 6; notiamo che l'incognita x compare sia a primo membro che  a secondo e che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro, vicino al 6. Applicando il principio del trasporto otteniamo: 3x - 2x = 6 - . A questo punto sommiamo i termini simili a primo e secondo membro e abbiamo: x = 5 che è la nostra soluzione.

2) Regola della cancellazione

 

Se in entrambi i membri dell'equazione compaiono termini uguali, questi si possono cancellare.

Esempio:

Data l'equazione di primo grado 3x + 1 = 2x + 6 + 1, possiamo applicare la regola del trasporto e otteniamo: 3x - 2x = 6 + 1 - 1; +1 e -1, essendo opposti, danno come risultato 0, quindi si possono cancellare. Osserviamo che il numero -1 è stato ottenuto dal trasporto del +1 di partenza da primo a secondo membro. Senza passare attraverso la strada del trasporto, possiamo notare che nell'equazione di partenza il numero +1 compare in entrambi i membri, quindi può essere cancellato immediatamente come segue 3x + 1 = 2x + 6 + 1, ottenendo l'equazione equivalente 3x = 2x + 6.

Secondo principio di equivalenza delle equazioni di primo grado: il principio di moltiplicazione

Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri  di un'equazione di primo grado per uno stesso numero diverso da zero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita (che abbia significato per qualunque valore dell'incognita e non si annulli mai), si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Esempio:
data l'equazione 4x - 2 = 6  che ha soluzione x = 2, se si moltiplicano entrambi i membri per il numero 3 si ottiene l'equazione 3 -(4x - 2)= 3 - 6, ossia svolgendo i calcoli 12x - 6 = 18 che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.

Conseguenze del secondo principio di equivalenza

 

1) Cambio Segno

 

Se si cambiano i segni di tutti i termini dell'equazione di primo grado, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

NOTA DEL PROFESSORE Questa regola è utile se ci si trova di fronte a un'equazione in cui compaiono tanti (troppi) segni negativi ma soprattutto quando nel risultato finale, dopo aver applicato la regola del trasporto, invece di avere x = numero si ha –x = numero. Poiché noi siamo interessati al valore dell'incognita (x), non del suo opposto (-x), abbiamo bisogno di cambiarle il segno.

Consideriamo l'equazione di primo grado 2x + 8 = 3x - 2, applichiamo la regola del trasporto: 2x - 3x = -2 - 8; sommando i termini simili otteniamo -x = -10. Voglio togliere il segno negativo dall'incognita, lo posso fare grazie al secondo principio di equivalenza; in questo modo si ottiene x = 10.

2) Denominatore comune

 

Un'equazione di primo grado con i coefficienti interi si può trasformare in un'equazione equivalente con i coefficienti interi, moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori.

Esempio:

Consideriamo l'equazione di primo grado

Equazione primo grado

Per facilitare il calcolo vogliamo liberarla dai denominatori; per fare questo calcoliamo il denominatore comune (m.c.m. tra i denominatori) delle due frazioni


Equazione

Applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando entrambi i membri per 4, in modo da semplificare i denominatori

Equazione

Eseguendo le moltiplicazioni otteniamo così l'equazione

14x - 2 = 3x -3

che è equivalente a quella di partenza.

NOTA DEL PROFESSORE
Il secondo principio di equivalenza si applica con la moltiplicazione nel caso in cui serva eliminare i denominatori dell'equazione e, solitamente, all'inizio del calcolo.
Si applica, invece, con la divisione nell'ultimo passaggio, per eliminare l'eventuale coefficiente dell'incognita.

Esempio:

4x - 6 = 5 + 2x

Applicando il primo principio di equivalenza si ottiene

2x = 11

Arrivati a questo punto non si può affermare che si è trovata la soluzione perché, ripetiamo, la soluzione è del tipo x = numero e non si vuole alcun coefficiente davanti all'incognita. Si deve quindi applicare il secondo principio di equivalenza e dividere entrambi i membri per il coefficiente di x (QUINDI PR 2 NON PER 11!):

Equzione 4

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Ultima modifica dell'articolo: 25/06/2015