Limiti di funzioni: teoria e verifica di limiti

A Cura della Dr.ssa Genny Mazzo

 

I limiti di funzioni, in parole povere, sono valori o quantità a cui le funzioni si avvicinano in certi punti particolari, ossia in punti in cui non è possibile definire le funzioni stesse. Non si riesce a conoscere il comportamento delle funzioni in quei punti ma si necessita sapere il loro comportamento limite, cioè come esse si comportano quando ci si avvicina il più possibile a quel valore.

Concetto intuitivo di limite di una funzione

Per capire cosa si intende per “limite di una funzione” facciamo inizialmente riferimento al significato immediato della parola “limite”. Il concetto generale di “limite” sembra abbastanza intuitivo ed è usato quotidianamente nel linguaggio parlato; dobbiamo però cercare di definirlo con precisione e capire come il esso si possa applicare alla matematica.
Il “limite” in matematica è solo una tortura in più per gli studenti o è stato studiato anche nell'antichità? A quale scopo?
I “limiti” e le loro applicazioni hanno permesso di risolvere alcuni problemi, tra cui ricordiamo quello del calcolo della velocità di un corpo in ogni singolo istante; oltre a ciò hanno anche permesso di dare sistemazione rigorosa al calcolo differenziale per risolvere problemi tra cui la determinazione del massimo e del minimo di una funzione, la determinazione della tangente a una curva e il calcolo della lunghezza di una curva, delle aree delimitate da curve, delle superfici e dei volumi.

La necessità di introdurre i “limiti” nella matematica è stata avvertita per descrivere e capire il comportamento di alcune funzioni vicino ai punti nei quali esse perdevano significato.
Senza ricorrere ai problemi dei grandi fisici del passato, ci accorgiamo anche noi, di alcune limitazioni che abbiamo incontrato nei calcoli fin dalle elementari. Si può eseguire la divisione tra un qualunque numero (diverso da 0) e 0? Nella peggiore delle ipotesi prendiamo una calcolatrice e proviamo a digitare 5:0; la calcolatrice ci manda un messaggio: ERROR.
Ma perché? Che cosa significa dividere un numero per 0?
Proviamo a mano, oppure con la calcolatrice, oppure con il computer, a dividere 5 per numeri molto piccoli, vicini a 0:

Limiti

Si dovrebbe già sapere, comunque si nota che al diminuire del numero al denominatore si incontra un aumento del valore della frazione; se continuiamo a diminuire il denominatore, e lo facciamo diventare “infinitamente piccolo” (cioè infinitamente prossimo allo zero), il valore della frazione diventa “infinitamente grande”.
Questo fatto, in matematica si suole esprimere dicendo che “il limite di una frazione col denominatore che tende a zero è infinito”.
Quindi pur continuando a dire che la divisione per zero è impossibile, abbiamo comunque affermato che la divisione per zero tende a infinito. Sinteticamente, anche se la scrittura

Limiti di funzione

NOTA DEL PROFESSORE
Facciamo presente agli studenti che ∞ non è un numero ma solo un simbolo che ci indica il comportamento di una funzione il cui valore diventa arbitrariamente grande. Questa precisazione è importante per evitare che nello studente si creino misconcezioni che lo portino anche a pensare che l'infinito sia una grandezza che si può paragonare o addirittura sommare o sottrarre ad altre grandezze finite: scritture come + o + 1 non hanno significato.

A questo punto trattiamo rigorosamente i limiti da un punto di vista teorico-matematico. Quanto segue è importante per capire al meglio l'argomento e per creare un'idea precisa di ciò che si farà nel momento in cui ci si troverà di fronte al problema concreto di calcolare i limiti e di inserirli in problemi più complessi quali gli studi di funzione.
In matematica esistono 4 tipi di limiti di funzione.

Limite finito di una funzione in un punto

Prima di introdurre la definizione rigorosa invitiamo ad esaminare una funzione del tipo: Funzione
  1. Determinare il dominio
  2. Tracciare il grafico per via elementare

Grafico funzione

Il grafico che si otterrà sarà una retta di equazione Y = -x - 3  privata del punto (3; -6)  e con dominio D = (-; 3)∪(3; + )
3) Esaminare, aiutandosi con il grafico tracciato, cosa succede ai valori assunti dalla funzione quando ci si avvicina al punto x0= 3 da destra e da sinistra.
La funzione non è definita in x0, ma 3 è un punto di accumulazione per D; questo significa che in ogni intorno V di 3 cadono infiniti numeri di D.
Possiamo pensare di trovare le coordinate dei punti della funzione le cui ascisse appartengono a V; i loro valori descriveranno il comportamento della funzione quando x assume valori prossimi a 3.

 

Cosa osserviamo?


Man mano che x si avvicina a 3 (sia da sinistra che da destra), i valori di y si avvicinano a -6.
Cerchiamo ora di formalizzare quanto capito; riprendiamo la funzione

Funzione, Limiti

Approfondimenti:


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