Le equazioni di primo Grado

A Cura della Dr.ssa Genny Mazzo


Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono all'incognita.
Indichiamo con P(x) e con Q(x) le due espressioni letterali dette sopra, aventi incognita x; possiamo indicare un'equazione di primo grado nel modo seguente:

P(x) = Q(x)

P(x), ossia l'espressione a sinistra dell'uguale, è detta primo membro dell'equazione di primo grado;
Q(x), ossia l'espressione a destra dell'uguale, è detta secondo membro dell'equazione di primo grado.

Ogni numero che, attribuito (sostituito) all'incognita x nell'equazione di primo grado, fa assumere al primo membro lo stesso valore del secondo, è detto soluzione dell'equazione di primo grado.
Risolvere un'equazione di primo grado significa trovare la sua soluzione; in altre parole vuol dire trovare quel valore che, messo al posto dell'incognita, rende vera l'uguaglianza oppure, si dice anche che “soddisfa l'equazione”.
Cerchiamo di chiarire quanto detto con un esempio. Consideriamo l'equazione di primo grado

3x + 1 = 2x + 6

se proviamo a sostituire il numero 2 all'incognita x otteniamo:

3 · 2 + 1 = 2 · 2 + 6

risolvendo otteniamo:

7 = 10

Che NON E' UN'UGUAGLIANZA! Questo significa che 2 non è la soluzione dell'equazione di primo grado. Se invece utilizziamo il numero 5, con lo stesso procedimento di prima otteniamo

16 = 16

Che E' UN'UGUAGLIANZA VERA! Quindi 5 è proprio la soluzione dell'equazione di primo grado.
Anticipiamo che un'equazione di primo grado, che non sia un'identità, se ha soluzione, ne ha una e una sola. Ciò significa che se ne trovo una, non devo cercarne altre.

 

Classificazione delle equazioni di primo grado secondo la loro soluzione

1) L'equazione di primo grado non ha alcuna soluzione

 

Ciò si verifica quando nessun numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione di primo grado. In questo caso si dice che l'equazione è impossibile.
Esempio:

3x + 1 = 5x - 2x - 8

2) L'equazione di primo grado ha una soluzione

 

Ciò si verifica quando un solo numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione di primo grado. In questo caso si dice che l'equazione è determinata.

Esempio:

2x + 1 = 5x - 8

3) L'equazione di primo grado ha un numero infinito di soluzioni

 

Ciò si verifica quando qualsiasi numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione. In questo caso si dice che l'equazione è indeterminata o che è un'identità.
Esempio:

3x + 1 = 5x - 2x - 8 + 9

Classificazione delle equazioni di primo grado secondo la loro forma

1) Equazione di primo grado INTERA

 

Un'equazione di primo grado si dice intera quando i suoi membri sono polinomi di primo grado nell'incognita x.
Esempi:

Equazione di primo grado intera

2) Equazione di primo grado FRAZIONARIA

 

Un'equazione di primo grado si dice frazionaria quando, in almeno uno dei suoi membri, l'incognita compare a denominatore.
Esempi:

Equazione di primo grado frazionata

3) Equazione di primo grado LETTERALE

 

Un'equazione di primo grado si dice letterale quando essa contiene, oltre all'incognita, altre lettere che rappresentano numeri ben precisi.
Esempi:

Equazione di primo grado LETTERALE

4) Equazione di primo grado NUMERICA

 

Un'equazione di primo grado si dice numerica se non contiene altre lettere oltre all'incognita. Gli esempi ai punti 1. e 2. Sono equazioni di primo grado numeriche.

NOTA DEL PROFESSORE
Un errore molto frequente tra gli studenti è quello di confondere un'equazione di primo grado intera a coefficienti frazionari con un'equazione di primo grado frazionaria. Si sottolinea nuovamente che un'equazione si definisce frazionaria SOLO SE l'incognita compare a denominatore, NON se ci sono frazioni al suo interno!

Esempi:

Equazione di primo grado intera e frazionaria

A questo punto abbiamo bisogno di strumenti e metodi che ci permettano di risolvere un'equazione di primo grado: i principi di equivalenza delle equazioni di secondo grado e le loro conseguenze.

 

Approfondimenti:

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