Denominatore comune: regole pratiche

A Cura della Dr.ssa Genny Mazzo


Il denominatore comune costituisce un ostacolo non indifferente nella risoluzione delle equazioni frazionarie; spesso si sa risolvere le equazioni ma non calcolare il denominatore comune e questo comporta l'annullamento dell'intero esercizio.
In questa sede, senza dilungarci in tanta teoria, vogliamo dare delle regole pratiche per il calcolo del denominatore comune tra due o più frazioni algebriche di un'equazione.
Data un'equazione frazionaria, il primo passaggio da fare per la ricerca delle sue soluzioni è il calcolo del denominatore comune. Per fare ciò si deve procedere a:

  1. scomporre in fattori irriducibili tutti i denominatori delle frazioni presenti;
  2.  calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra i polinomi che costituiscono i denominatori;
  3. Ridurre le frazioni allo stesso denominatore
Denominatore comune
NOTA DEL PROFESSORE
L'errore più frequente nel calcolo dell'm.c.m. è quello di confondere i fattori con gli addendi e quindi di mescolare pezzi di un polinomio con pezzi di altri. Ad esempio consideriamo i seguenti polinomi già scomposti in fattori:

5; x + 5

I due polinomi non hanno alcun termine in comune, per cui il loro m.c.m. è:

5 · (x + 5)

Erroneamente molti, invece, credono che i due polinomi abbiano il 5 in comune, quindi affermano che l'm.c.m. sia:

(x + 5)

In verità il 5 del primo polinomio non ha proprio nulla a che fare con il 5 del secondo polinomio, quest'ultimo, infatti, è inscindibile dalla x.

Come si calcola il minimo comune multiplo?

  1. Tra 2 o più numeri naturali

    Innanzitutto si devono scomporre i numeri in fattori primi. Successivamente si moltiplicano tra loro  i fattori comuni e non comuni ai numeri dati, ciascuno preso una sola volta con il massimo esponente.

Esempio:
Consideriamo i numeri 9, 15, 36 e scomponiamoli in fattori primi:

 

9 =32

15 = 3 · 5

36 = 22 · 32


Osserviamo che i tre numeri hanno il fattore 3 in comune. Il quale dovrà esser inserito (una sola volta) nell'm.c.m. con l'esponente più alto che compare (cioè 2, nel nostro caso); i fattori 2 e 5 non sono comuni ma devono essere ugualmente messi nell'm.c.m. che diventa:

 

m.c.m. (9, 15, 36) = 32 · 22· 5 = 180

  1. Tra 2 o più polinomi

    Innanzitutto si devono scomporre i polinomi in fattori irriducibili. Successivamente si moltiplicano tra loro  i fattori comuni e non comuni ai polinomi dati, ciascuno preso una sola volta con il massimo esponente.
    Attenzione: insieme ai polinomi possono comparire anche dei numeri; per questi vale la regola dell'm.c.m. vista nel punto 1.

Esempio:
Consideriamo i polinomi 2a + 6; a2 + 6a + 9: 4a2 - 36  e scomponiamoli in fattori:


2a + 6 = 2 (a + 3)

a2 + 6a + 9 = (a + 3)2

4a2 - 36 = 4(a2 - 9) = 22 (a +3 )(a - 3)


Osserviamo che i tre polinomi hanno in comune il fattore (a + 3), il quale dovrà essere inserito (una sola volta) nell'm.c.m. con l'esponente più alto che compare (cioè 2, nel nostro caso); anche il fattore 2 deve essere considerato (una sola volta) con il suo esponente più grande (cioè 2, nel nostro caso).
Possiamo ora concludere che
m.c.m. ( ) = (2a + 6; a2 + 6a + 9; 4a2 - 36) = 22 (a +3)2(a - 3)

Come si riducono più frazioni allo stesso denominatore?

  • Dividere il nuovo denominatore (quello comune) per il vecchio denominatore (della frazione di partenza);
  • moltiplicare il risultato della divisione per il numeratore
Denominatore comune

Nel calcolo del denominatore comune, senza eseguire la divisione, si può trovare il fattore per cui moltiplicare il numeratore, cercando “ciò che manca” al vecchio denominatore per ottenere quello nuovo. Per esempio consideriamo le frazioni algebriche

Denominatore comune

Il loro denominatore comune è

x(x + 4)2

Confrontiamo i denominatori originali con quello comune e notiamo che al primo “manca” una parentesi (x + 4)  e al secondo “manca” la x per diventare uguale al nuovo denominatore. Perciò il primo numeratore dovrà essere moltiplicato per (x + 4)  e il secondo per x:

formula

<< 1 2 3 4 5