Equazioni di primo grado: ecco come risolverle

A Cura della Dr.ssa Genny Mazzo

3) Equazioni di primo grado letterali intere

Il procedimento risolutivo delle equazioni di primo grado letterali è uguale a quello delle equazioni di primo grado numeriche, si deve però ricordare che quando si applica il secondo principio di equivalenza delle equazioni nella divisione di entrambi i membri per una stessa quantità contenente parametri, è obbligatorio richiedere che essa sia diversa da zero, per non far perdere significato all'equazione. Si stabiliscono così delle limitazioni riguardanti i parametri che si dicono condizioni di esistenza (C.E.) dell'equazione. I ragionamenti che riguardano i possibili valori assunti dai parametri costituiscono la discussione dell'equazione.

La forma normale di un'equazione di primo grado letterale intera è del tipo: Ax + B = 0, dove A e B sono espressioni algebriche (monomi o polinomi) che contengono parametri. Come nelle equazioni di primo grado numeriche la soluzione sarà:

Equazione primo grado

Distinguiamo però due casi:

  • Se A è un numero diverso da zero, la soluzione si ottiene senza problemi
  • Se A è un'espressione algebrica contenente i parametri, prima di dividere per A entrambi i membri, si deve discutere cosa succede se A ≠ 0 oppure se A = 0:

A ≠ 0

A = 0

La soluzione è Equazione primo grado

L'equazione è impossibile o indeterminata?

Esempio:

Sia data l'equazione di primo grado letterale intera:

Equazione 8

Notiamo che il parametro a compare a denominatore, ciò non significa che abbiamo a che fare con un'equazione frazionaria perché non è l'incognita x a essere a denominatore. Dobbiamo imporre le condizioni di esistenza del parametro:

C.E.: a ≠ 0

Risolviamo l'equazione eliminando i denominatori (denominatore comune e successivamente secondo principio di equivalenza):

Equazione 9

A questo punto, per risolvere l'equazione, tutti i termini contenenti l'incognita devono essere portati a primo membro, mentre tutti gli altri spostati a secondo membro:


-ax - x = -3a2 + 2

Raccogliamo l'incognita allo scopo di evidenziarne il coefficiente:

x(-a - 1) = -3a2 + 2

Ora possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e dividere entrambi i membri per il coefficiente (-a - 1):

Equazione 10

ATTENZIONE! Il coefficiente contiene l'incognita quindi, prima di dare la soluzione dobbiamo discutere cosa succede se (-a -1) è diverso oppure uguale a zero:

  • Se (-a -1) ≠ 0 → a ≠ 1    la soluzione è Equazione 11
  • Se (-a -1) = 0 → a = -1   sostituendo il valore -1 al parametro si ottiene 0x = -1 → EQUAZIONE IMPOSSIBILE
  • Se a = 0 l'equazione perde significato

2) Equazioni di primo grado letterali frazionarie

Le equazioni di primo grado letterali frazionarie si risolvono trasformandole in equazioni equivalenti intere, eliminando i denominatori (m.c.m. tra i denominatori e successivamente secondo principio di equivalenza), dopo aver stabilito le condizioni di accettabilità della soluzione; una volta trovata la soluzione, questa dovrà essere confrontata con le condizioni di accettabilità.
Anche per questo tipo di equazioni vale il discorso fatto per le equazioni di primo grado letterali intere, ossia servono condizioni di esistenza e discussione dei parametri.
A questo punto è inutile dilungarsi in tante parole, è meglio mostrare come si deve lavorare attraverso alcuni esempi.

Esempio:

Sia data l'equazione di primo grado letterale frazionaria:


Equazione 12

Dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di accettabilità

C.A.: 2a - x ≠ 0 → x ≠ 2a
Risolviamo l'equazione eliminando i denominatori (denominatore comune e successivamente secondo principio di equivalenza):

Equazione 13

Spostiamo a secondo membro i termini che non contengono l'incognita e mettiamo in evidenza il coefficiente:

x-(-a - 1) = -2 - 2a → x(-a - 1) = 2 (-a - 1)

DISCUSSIONE

  • Se (-a - 1) ≠ 0 → a ≠ -1 la soluzione è  Equazione 14 (semplificando)

Confrontiamo ora questa soluzione con le C.A. che richiedono x ≠ 2a  ossia dobbiamo porre la nostra soluzione 2 diversa da quell'espressione:


2 ≠ 2aa ≠ 1

Ciò significa che la soluzione x = 2 è ACCETTABILE solo se a ≠ 1; se a = 1 l'equazione è impossibile perché incompatibile con le C.A.

  • Se (-a - 1) = 0 → a = -1  sostituendo il valore -1 al parametro si ottiene 0x = 0  EQUAZIONE INDETERMINATA
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Ultima modifica dell'articolo: 13/01/2016